Real Number_SRRU: การแก้อสมการ

             จากที่เราเคยเรียนผ่านมาเกี่ยวกับเรื่องการแก้สมการตัวแปรเดียว หรือว่าหลายตัวแปรนั้น มีความเกี่ยวเนื่องบางประการสำหรับการที่จะนำความรู้ของเรื่องสมการนั้นเพื่อนำมาใช้ในบทนี้

        สำหรับหัวข้อนี้นั้น จะพูดถึงวิธีการแก้อสมการในรูปแบบต่างๆได้อย่างไร โดยที่คุณสัมบัติหลักที่ใช้มากในการแก้อสมการนั้น คือ คุณสมบัติการไม่เท่ากัน ได้แก่
        1. คุณสมบัติการบวกด้วยจำนวนเท่ากัน
        2. คุณสมบัติการลบด้วยจำนวนเท่ากัน
        3. คุณสมบัติการคูณด้วยจำนวนจริงบวก
        4. คุณสมบัติการคูณด้วยจำนวนจริงลบ

โดยการที่จะทำการแก้อสมการนั้น เราจะแยกตามประเภทของอสมการในแต่ละประเภทดังนี้คือ

การแก้อสมการกำลังหนึ่ง

        อสมการกำลังหนึ่งนั้น เป็นอสมการที่มีตัวแปรยกกำลังหนึ่งเท่านั้น และสามารถที่จะจัดอสมการในรูปของ
                                                                           ax le b

โดยที่เราจะกำหนดให้

เป็นตัวแปร และ a,b

เป็นค่าคงที่ และจากคุณสมบัติดังกล่าวนี้นั้น เราสามารถที่จะนำมาใช้ในการแก้ปัญหาอสมการประเภทนี้ โดยที่คุณสมบัติข้อ 1 และข้อ 2 นั้นจะถือว่าเป็น คุณสมบัติที่ช่วยในการจัดอสมการกำลังหนึ่งให้อยู่ในรูปที่แสดงดังอสมการข้างต้น

การแก้อสมการกำลังสอง
สำหรับในหัวข้อนี้ เป็นอีกหนึ่งวิธีสำหรับการแก้อสมการ แต่จะเพิ่มระดับความยุ่งยากขึ้นมามากกว่าเล็กน้อย นั่นคือ การแก้โจทย์ปัญหาอสมการกำลังสอง โดยที่การแก้อสมการประเภทนี้นั้น เราสามารถทำได้หลายวิธีด้วยกัน เช่น การแยกตัวประกอบ หรือ การแก้โจทย์โดยที่ใช้วิธีกำลังสองสมบูรณ์

การแก้อสมการกำลังสองนั้น มีนิยามที่แสดงได้อย่างง่ายๆคือ อสมการกำลังสอง ใน

หมายถึง อสมการที่อยู่ในรูปของ
Ax+bx+c < 0

โดยกำหนดให้

เป็นตัวแปร และ a,b,c

เป็นค่าคงที่ ที่ aneq 0

            วิธีการแก้อสมการกำลังสองนั้นมีวิธีได้หลายวิธี โดยขั้นตอนในการแก้ปัญหานั้นมีขั้นตอนดังนี้

1. การแก้สมการสมการกำลังสองโดยการแยกตัวประกอบ

             การแก้อสมการกำลัง 2
อ้างโดยนิยามที่กล่าวไปดังก่อนหน้านี้ เราสามารถที่จะแสดงวิธีในการแก้อสมการได้ดังนี้
              1. จัดอสมการเปรียบเทียบกับ 0
              2. แยกตัวประกอบ
              3. พิจารณาเครื่องหมาย +,-

4. หาคำตอบจากสมการกำลัง 1 จากทั้ง 2 กรณีแล้วนำมายูเนี่ยนกัน
ซึ่งพวกเราสามารถที่จะนำขั้นตอนดังกล่าวมาใช้ได้โดยที่จะสามารถแก้ปัญหาได้อย่างรวดเร็วและถูกต้อง เช่นตัวอย่างดังต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 1 จงหาเซตคำตอบของสมการ 3x^2+10x ge 8

วิธีทำ

: จัดสมการเปรียบเทียบกับ 0
(x+4)(3x-2) ge 0

: แยกตัวประกอบ

ซึ่งเราจะต้องแบ่งเครื่องหมายในการพิจารณา โดยมีกรณีดังนี้
              1. (+)(+) หรือ x มากกว่าหรือเท่ากับ 0
              2. (-)(-)  หรือ x น้อยกว่า 0

              อีกกรณีหนึ่งที่มีเครื่องหมายต่างกัน เราสามารถที่จะแบ่งได้เป็นสองกรณีเช่นกัน แล้วสุดท้ายจะนำคำตอบที่ได้มายูเนี่ยนกัน

1. x+4 ge 0

และ

และ $x ge frac{2}{3}$

9866

และ

และ $x le frac{2}{3}$

9867

เมื่อเรานำค่าที่แยกตัวประกอบนำมาแบ่งเป็นสองกรณีแล้วนั้น ให้นำคำตอบจากสมการกำลัง 1 จากทั้งสองกรณีแล้วนำมายูเนี่ยนกันเพื่อหาคำตอบสุดท้ายออกมาได้ดังนี้

9868

ดังนั้น คำตอบสุดท้ายที่ได้ออกมาก็คือ $(-infty,4]bigcup [frac{2}{3}, infty)$

วิธีการดังที่กล่าวมาคือสำหรับอสมการกำลังสอง โดยใช้วิธีการแยกตัวประกอบเป็นหลัก หากแต่เพื่อนๆจะทำอย่างไร หากว่า เพื่อนๆ ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้

2. การแก้อสมการกำลังสองโดยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์
ในสำหรับกรณีที่แก้อสมการกำลังสอง โดยที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ หรือ อาจสามารถทำได้แต่ยากและใช้เวลานาน การแก้อสมการกำลังสองนี้อาจใช้วิธีการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ได้ ซึ่งมีขั้นตอนง่ายๆดังนี้
ขั้นตอนที่ 1 ทำให้อสมการกำลังสองใน

มีสัมประสิทธิ์ของพจน์ x^2

เท่ากับ 1

ขั้นตอนที่ 2 ทำให้อยู่ในรูปของ
$displaystyle{[x^2+bx+(frac{b}{2})^2]+c-(frac{b}{2})^2 ge 0}$
$displaystyle{[x^2+bx+(frac{b}{2})^2]+c-(frac{b}{2})^2 > 0}$
$displaystyle{[x^2+bx+(frac{b}{2})^2]+c-(frac{b}{2})^2 le 0}$
$displaystyle{[x^2+bx+(frac{b}{2})^2]+c-(frac{b}{2})^2 < 0}$
ขั้นตอนที่ 3 แทนค่าให้อยู่ในรูปของ
$displaystyle{(x+frac{b}{2})^2+c-(frac{b}{2})^2 ge 0}$
$displaystyle{(x+frac{b}{2})^2+c-(frac{b}{2})^2 > 0}$
$displaystyle{(x+frac{b}{2})^2+c-(frac{b}{2})^2 le 0}$
$displaystyle{(x+frac{b}{2})^2+c-(frac{b}{2})^2 < 0}$

ตัวอย่างที่ 1 จงแก้อสมการ 3x^2-6x-4 le 0

วิธีทำ นำ $frac{1}{3}$ คูณอสมการที่กำหนดให้
$displaystyle{x^2-2x-frac{4}{3} le 0}$
$displaystyle{(x^2-2x+1) -frac{4}{3} - 1 le 0}$
$displaystyle{(x-1)^2-frac{7}{3} le 0}$
ดังนั้น $displaystyle{ - frac{7}{3} le x-1 le frac{7}{3}}$
$displaystyle{1-frac{7}{3} le x le 1 +frac{7}{3}}$
เพราะฉะนั้น เซตคำตอบของอสมการที่ได้จะเท่ากับ $displaystyle{(1-frac{7}{3}, 1+frac{7}{3})}$

ในกรณีที่สัมประสิทธิ์ด้านหน้าของ x^2

ไม่เท่ากับ 1 ให้ทำให้เป็น 1 เสียก่อน

Real Number_SRRU

วันเสาร์ที่ 27 สิงหาคม พ.ศ. 2554

การแก้อสมการ

ไม่มีความคิดเห็น:

แสดงความคิดเห็น