วันเสาร์ที่ 27 สิงหาคม พ.ศ. 2554

สัจพจน์ความบริบูรณ์ (The axiom of completeness)

     สมบัติความบริบูรณ์ เป็นสมบัติสุดท้ายของระบบจำนวนจริง ซึ่งทางบทแรกๆของจำนวนจริงนั้นได้พูดถึงคุณสมบัติต่างๆของจำนวนจริงไปแล้ว ซึ่งสมบัติความบริบูรณ์นี้ จะเป็นสมบัติสุดท้ายของระบบจำนวนจริงที่จำนวนอื่นไม่มี และมีชื่อเรียกชื่ออีกอย่างหนึ่งว่า สัจพจน์การมีค่าขอบเขตบนน้อยที่สุด (lest upper bound axiom)

          ซึ่งก่อนอื่น เราก็ต้องทำความรู้จักกับคำว่า “ค่าขอบเขตบท” ก่อน เพราะมีความสำคัญมากสำหรับเรื่องนี้ โดยจากนิยามที่ได้กล่าวเอาไว้ว่า

         บทนิยาม ให้ S subset mathcal{R} กล่าวว่า จำนวนจริง u จะเป็นค่าขอบเขตบนของ S ก็ต่อเมื่อ u มีค่าไม่น้อยกว่าสมาชิกใดๆของ S ในกรณีนี้เราเรียกว่า S มีขอบเขตบน


        นั่นก็คือว่า: u เป็นค่าขอบเขตบนของ S ก็ต่อเมื่อ x le u สำหรับทุกๆ x in S

       โดยที่ สัจพจน์ของระบบจำนวนจริงนั้นก็คือ ข้อความที่เป็นจริงได้โดยที่ไม่ต้องพิสูจน์ ซึ่งมีทั้งหมด 15 สัจพจน์ด้วยกัน ดังที่แสดงให้เห็นดังนี้

        สัจพจน์ที่ 1 ถ้า a,b in mathcal{R} จะได้ a+b in mathcal{R}
        สัจพจน์ที่ 2 ถ้า a,b,c in mathcal{R} จะได้  (a+b)+c=a+(b+c)
        สัจพจน์ที่ 3 มี 0 in mathcal{R} โดยที่ a+0 = a สำหรับทุก a in mathcal{R}
        สัจพจน์ที่ 4 ถ้า a in mathcal{R} จะมี -a in mathcal{R} ซึ่ง a+(-a)=(-a)+a=0
       สัจพจน์ที่ 5 ถ้า a,b in mathcal{R} จะได้ a+b = b+a
       สัจพจน์ที่ 6 ถ้า a,b in mathcal{R} จะได้ ab in mathcal{R}
       สัจพจน์ที่ 7 ถ้า a,b,c in mathcal{R} จะได้ (ab)c = a(bc)
       สัจพจน์ที่ 8 มี 1 in mathcal{R},1neq 0 ซึ่ง a1 = 1a = a สำหรับทุก a in mathcal{R}
       สัจพจน์ที่ 9 ถ้า a in mathcal{R},a neq 0 จะมี  a^{-1} in mathcal{R} ซึ่ง a^{-1}a=1
       สัจพจน์ที่ 10 ถ้า a,b in mathcal{R} จะได้ ab=ba
       สัจพจน์ที่ 11 ถ้า a,b,c in mathcal{R} แล้ว a(b+c)=ab+ac
       สัจพจน์ที่ 12 มีสับเซต  mathcal{R}^{+} ของ  mathcal{R} ซึ่ง0neq in mathcal{R}^{+} และ ถ้า a in mathcal{R} และ aneq 0 แล้ว ain mathcal{R}^{+} หรือ     -ain mathcal{R}^{+} ประการใดประการหนึ่ง
        สัจพจน์ที่ 13 ถ้า a,bin mathcal{R}^{+} แล้ว a+bin mathcal{R}^{+}
        สัจพจน์ที่ 14 ถ้า a,bin mathcal{R}^{+} แล้ว abin mathcal{R}^{+}
        สัจพจน์ที่ 15 ถ้า Sneq emptyset, Ssubsetmathcal{R} และ S มีขอบเขตบนแล้ว S จะมีขอบเขตบนน้อยที่สุด

ตัวอย่างที่ 1 ให้ S = [2,8]
จะได้ว่า 8 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 8 เป็นขอบเขตบนของ 8 และขอบเขตบนที่น้อยที่สุดคือ 8

ตัวอย่างที่ 2 ให้ S = (3,5)
จะได้ว่า 5 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 5 เป็นขอบเขตบนของ 8 และ ขอบเขตบนที่น้อยที่สุด คือ 5

ตัวอย่างที่ 3 ให้ S = {0,7,3,5}
จะได้ว่า 7 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 7 เป็นขอบเขตบนของ 5 และขอบเขตบนที่น้อยที่สุดคือ 7

ตัวอย่างที่ 4 ให้ S = [-1, infty)
จะได้ว่า S ไม่มีขอบเขตบน

ตัวอย่างที่ 5 ให้ S = emptyset
จะได้ว่า จำนวนจริงทุกจำนวนเป็นขอบเขตบนของ S และ S ไม่มีขอบเขตบนที่น้อยที่สุด

ไม่มีความคิดเห็น:

แสดงความคิดเห็น